جستجو
درجه آزادی (Degrees of freedom)، تعداد اطلاعات مستقلی است که برای محاسبه یک آمار استفاده می شود. به عنوان حجم نمونه منهای تعداد محدودیت ها محاسبه می شود. درجات آزادی معمولاً در پرانتزهایی در کنار آماره آزمون، در کنار نتایج آزمون آماری گزارش می شود.
در آمار استنباطی، شما با محاسبه آماری از یک نمونه، پارامتری از یک جامعه را تخمین می زنید. به تعداد اطلاعات مستقلی که برای محاسبه آمار استفاده می شود، درجه آزادی می گویند. درجات آزادی یک آمار به حجم نمونه بستگی دارد:
-هنگامی که حجم نمونه کوچک است، تنها چند قطعه مستقل از اطلاعات وجود دارد و بنابراین تنها چند درجه آزادی وجود دارد.
-وقتی حجم نمونه بزرگ باشد، اطلاعات مستقل زیادی وجود دارد و بنابراین درجات آزادی زیادی وجود دارد.
هنگامی که یک پارامتر را تخمین می زنید، باید محدودیت هایی در ارتباط مقادیر با یکدیگر ایجاد کنید. در نتیجه، قطعات اطلاعات همگی مستقل نیستند. به بیان دیگر، مقادیر موجود در نمونه همگی آزاد نیستند که تغییر کنند.
قیاس و مثال زیر به شما نشان می دهد که تفاوت آزاد بودن یک مقدار به چه معناست و چگونه تحت تأثیر محدودیت ها قرار می گیرد.
درجه آزادی یک آماره آزمون، ارزش بحرانی آزمون فرضیه را تعیین می کند. مقدار بحرانی از توزیع صفر محاسبه می شود و یک مقدار برش برای تصمیم گیری در مورد رد فرضیه صفر است.
درجه آزادی با تغییر شکل توزیع صفر بر مقدار بحرانی تأثیر می گذارد. توزیع‌های صفر آماره‌های آزمون t، کای‌دو و دیگر آزمون‌های student با درجات آزادی تغییر می‌کنند، اما هر کدام به روش‌های متفاوتی تغییر می‌کنند.
برای انجام آزمون t، t را برای نمونه محاسبه کرده و آن را با یک مقدار بحرانی مقایسه می کنید. برای یافتن مقدار بحرانی مناسب، باید از توزیع t Student با درجات آزادی مناسب استفاده کنید.
توزیع صفر t Student با درجه آزادی تغییر می کند:
وقتی df = 1، توزیع به شدت لپتوکورتیک است، به این معنی که احتمال مقادیر شدید بیشتر از توزیع نرمال است.
با افزایش df، توزیع باریک تر و لپتوکورتیک کمتر می شود. شبیه به توزیع نرمال استاندارد افزایش می یابد
وقتی df ≥ ۳۰ باشد، توزیع t Student تقریباً با توزیع نرمال استاندارد یکسان است. اگر حجم نمونه بزرگتر از ۳۰ دارید، می توانید به جای توزیع t Student از توزیع نرمال استاندارد (همچنین به عنوان توزیع z شناخته می شود) استفاده کنید.
این تغییر در شکل توزیع حس شهودی دارد. توزیع t با افزایش تعداد درجه آزادی گسترش کمتری دارد زیرا اطمینان تخمین افزایش می یابد. تصور کنید به طور مکرر از جامعه نمونه برداری کنید و T Student را محاسبه کنید. هرچه حجم نمونه بزرگتر باشد، آمار آزمون بین نمونه ها کمتر خواهد بود.
برای انجام تست کای دو، شما مربع کای نمونه را با یک مقدار بحرانی مقایسه می کنید. برای یافتن مقدار بحرانی مناسب، باید از توزیع کای دو با درجات آزادی مناسب استفاده کنید.
توزیع صفر خی دو با درجات آزادی تغییر می کند، اما به روشی متفاوت از توزیع t Student:
هنگامی که df < 3، توزیع احتمال شبیه به عقب “J” شکل می گیرد.
هنگامی که df ≥ ۳، توزیع احتمال به شکل قوز است، با قله قوز در Χ۲ = df – 2. قوز به سمت راست است، به این معنی که توزیع در سمت راست قله آن طولانی تر است.
وقتی df> 90 باشد، توزیع کای دو با یک توزیع نرمال تقریب می شود.
درجات آزادی یک آمار، حجم نمونه منهای تعداد محدودیت ها است. بیشتر اوقات، محدودیت ها پارامترهایی هستند که به عنوان مراحل میانی در محاسبه آمار تخمین زده می شوند.
n – r
جایی که:
n حجم نمونه است
r تعداد محدودیت ها است، معمولاً با تعداد پارامترهای تخمین زده شده یکسان است
درجات آزادی نمی تواند منفی باشد. در نتیجه، تعداد پارامترهایی که تخمین می زنید نمی تواند بزرگتر از حجم نمونه باشد.
تشخیص تعداد محدودیت ها برای محاسبه درجه آزادی می تواند دشوار باشد. استفاده از فرمول های مخصوص آزمون برای تعیین درجه آزادی یک آمار آزمون، اغلب آسان تر است.
جدول زیر فرمول هایی را برای محاسبه درجات آزادی برای چندین آزمون رایج ارائه می دهد.
